Calcul de la VaR pour un Portefeuille Diversifié
Comprendre le Calcul de la VaR pour un Portefeuille Diversifié
Vous êtes analyste de risques pour une banque d’investissement qui détient un portefeuille composé d’actions, d’obligations et de produits dérivés. Le portefeuille est détaillé comme suit :
- Actions : 1000 actions de l’entreprise A à 50 € par action.
- Obligations : 500 obligations de l’entreprise B à 100 € par obligation, avec une maturité de 5 ans et un coupon annuel de 5%.
- Produits dérivés (Options Call) : 100 options call sur l’entreprise C avec un strike de 30 €, actuellement cotées à 5 € par option.
Vous êtes chargé de calculer la VaR à 95% sur un horizon d’un jour pour ce portefeuille, en utilisant une méthode simplifiée basée sur les volatilités historiques des instruments.
Données nécessaires:
- Volatilité annuelle des actions de l’entreprise A : 20%
- Volatilité annuelle des obligations de l’entreprise B : 5%
- Volatilité annuelle des options sur l’entreprise C : 30%
Questions:
1. Calcul du rendement quotidien attendu et de la volatilité quotidienne:
- Rendement quotidien attendu (pour chaque type d’actif)
- Volatilité quotidienne
2. Calcul de la VaR du portefeuille:
- Utilisez la formule simplifiée de la VaR pour chaque type d’actif
- Le Z-score pour 95% de confiance est environ 1.645.
- Additionnez les VaR calculées pour chaque type d’actif pour obtenir la VaR du portefeuille.
3. Discussion sur les limites de la VaR :
- Discutez pourquoi la VaR peut ne pas capturer entièrement le risque dans des conditions de marché extrêmes ou irrégulières.
- Évoquez les limites éthiques liées à l’utilisation excessive de la VaR pour évaluer les risques sans considération suffisante des événements rares ou catastrophiques.
Correction : Calcul de la VaR pour un Portefeuille Diversifié
1. Calcul du rendement quotidien attendu et de la volatilité quotidienne
Pour chaque type d’actif, calculons d’abord la volatilité quotidienne :
Actions de l’entreprise A :
- Volatilité annuelle = 20%
\[ \text{Volatilité quotidienne} = \frac{20\%}{\sqrt{252}} \] \[ \text{Volatilité quotidienne} \approx \text{0.0126 ou 1.26%} \]
Obligations de l’entreprise B :
- Volatilité annuelle = 5%
\[ \text{Volatilité quotidienne} = \frac{5\%}{\sqrt{252}} \] \[ \text{Volatilité quotidienne} \approx \text{0.00315 ou 0.315%} \]
Options sur l’entreprise C :
- Volatilité annuelle = 30%
\[ \text{Volatilité quotidienne} = \frac{30\%}{\sqrt{252}} \] \[ \text{Volatilité quotidienne} \approx \text{0.0189 ou 1.89%} \]
2. Calcul de la VaR du portefeuille
Utilisons le Z-score pour un intervalle de confiance de 95%, qui est de 1.645.
VaR pour les actions :
\[ \text{Valeur de position} = 1000 \text{ actions} \times 50 \text{ €/action} \] \[ \text{Valeur de position} = 50,000 \text{ €} \]
\[ \text{VaR} = -50,000 \times 1.645 \times 0.0126 \] \[ \text{VaR} \approx -1,029.45 \text{ €} \]
VaR pour les obligations :
\[ \text{Valeur de position} = 500 \text{ obligations} \times 100 \text{ €/obligation} \] \[ \text{Valeur de position} = 50,000 \text{ €} \]
\[ \text{VaR} = -50,000 \times 1.645 \times 0.00315 \] \[ \text{VaR} \approx -259.86 \text{ €} \]
VaR pour les options :
\[ \text{Valeur de position} = 100 \text{ options} \times 5 \text{ €/option} \] \[ \text{Valeur de position} = 500 \text{ €} \]
\[ \text{VaR} = -500 \times 1.645 \times 0.0189 \] \[ \text{VaR} \approx -15.53 \text{ €} \]
3. VaR totale du portefeuille
Additionnons les VaR de chaque type d’actif pour obtenir la VaR totale du portefeuille :
\[ \text{VaR totale} = -1,029.45 \text{ €} – 259.86 \text{ €} – 15.53 \text{ €} \] \[ \text{VaR totale} \approx -1,304.84 \text{ €} \]
4. Discussion sur les limites de la VaR
- Limites statistiques :
La VaR ne prend pas en compte les pertes qui dépassent le seuil de confiance (95% ici). Cela signifie que les 5% des pires cas ne sont pas évalués, ce qui peut sous-estimer le risque dans des conditions extrêmes.
- Dépendance de la forme de distribution :
La VaR suppose souvent une distribution normale des rendements, ce qui n’est pas toujours le cas, particulièrement pour les instruments financiers qui présentent des risques de sauts ou de queues lourdes.
- Considérations éthiques :
Une dépendance excessive à la VaR pourrait pousser les gestionnaires à ignorer ou à mal gérer les risques non capturés par ce modèle, conduisant à des décisions qui pourraient être préjudiciables aux parties prenantes et à la société en général.
Calcul de la VaR pour un Portefeuille Diversifié
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